Práctica 8: Muro

$\mathit{restart}$

Se trata de analizar el comportamiento del muro de la figura, empleando el teorema estático: planteando una configuración equilibrada -de bielas y tirantes-.

$\includegraphics[width=\linewidth]{muro_00.eps}$

Equilibrio de cargas y reacción del terreno

Se determina la reacción del terreno considerando que el muro asienta rígidamente en él, por lo que la reacción del terreno tendrá forma lineal -trapezoidal o triangular- con resultante igual y contraria a la de la carga.

Se evalúa, pues, la carga total, y la posición de la resultante (en kN y m, en distancia respecto del lateral izquierdo)

$\mathit{datos} := \{P=800 + 10\,x, \,L=8 + .3\,y\}$

$\mathit{Pm} := (L\,3.80\,.25 + L\,2.05\,.9)\,25$

$Q := P + 1.5\,P + \mathit{Pm}$

$\begin{maplelatex}\begin{displaymath} Q := 2.5\,P + 69.8750\,L \end{displaymath} \end{maplelatex}$

$\mathit{Pos} := \frac {.15\,P + .44\,L\,P\,1.5 + .5\,L\,\mathit{ Pm}}{Q}$

$\begin{maplelatex}\begin{displaymath} \mathit{Pos} := {\displaystyle \frac {.15\... ...,P + 34.93750\,L^{2}}{2.5\,P + 69.8750\,L}} \end{displaymath} \end{maplelatex}$

La resultante está en todos los casos situada más cerca del lateral izquierdo que el tercio de la longitud del muro, por lo que la reacción del terreno es triangular. Seguiremos con datos genéricos obteniendo como ejemplo sñlo los valores para el caso particular ( $\mathit{cp}$ ) de x=y=5.

La expresión siguiente muestra que la reacción es triangular:

$\mathit{cp} := \mathit{datos}, \,x=5, \,y=5$

$\begin{maplelatex}\begin{displaymath} \mathit{cp} := \{P=800 + 10\,x, \,L=8 + .3\,y\}, \,x=5, \,y=5 \end{displaymath} \end{maplelatex}$

$\mathrm{evalb}(\mathrm{subs}(\mathit{cp}, \,\mathit{Pos}\leq \frac {1\,L}{3}))$

$\begin{maplelatex}\begin{displaymath} \mathit{true} \end{displaymath} \end{maplelatex}$

$\mathrm{subs}(\mathit{cp}, \,[P, \,L, \,Q, \,\mathit{Pos}])$

$\begin{maplelatex}\begin{displaymath}[850, \,9.5, \,2788.81250, \,3.087374779] \end{displaymath} \end{maplelatex}$

La reacción por unidad de longitud en extremo izquierdo es fácil de obtener si el diagrama es triangular (en kN/m), y con ella puede obtenerse la tensión máxima en el terreno, al ser la reacción por unidad de longitud dividida por la anchura, en kN/m2 (y en N/mm2)

$\mathit{ri} := \frac {Q}{\frac {3\,\mathit{Pos}}{2}}$

$\sigma := \frac {\mathit{ri}}{2.3}$

Podemos particularizar para el caso x=y=5 a reacción por metro lineal, así como la tensión media bajo la zapata en el punto de reacción maxima (lado izquierdo del muro).

$\mathrm{subs}(\mathit{cp}, \,[\mathit{ri}, \,\sigma , \,\frac { \sigma }{1000}])$

$\begin{maplelatex}\begin{displaymath}[602.1971631, \,261.8248536, \,.2618248536] \end{displaymath} \end{maplelatex}$

El coeficiente de seguridad frente a la capacidad del suelo mide la relación entre la carga que provocaría la rotura del suelo y la carga efectiva. Como no estamos analizando el suelo en detalle, sino el muro, buscamos sólo una estimación del grado de seguridad del diseño, y como sólo tenemos un dato de resistencia admisible, medimos sólo el cociente entre dicha resistencia admisible y la mayor tensión media obtenida. Un coeficiente igual o mayor que uno muestra seguridad admisible -al estar usando la esistencia admisible- y si es menor que uno, inseguridad, salvo estudio más detallado de las condiciones del suelo. Particularizamos, como siempre para x=y=5.

$\zeta := \frac {200}{\sigma }$

$\mathrm{subs}(\mathit{cp}, \,\zeta )$

$\begin{maplelatex}\begin{displaymath} .7638694238 \end{displaymath} \end{maplelatex}$

Diagamas de esfuerzos globales

Obtenemos por integrales sucesivas los diagramas de Cortantes y de momentos globales -para una directriz horizontal que abarque el ancho del muro- a partir de las cargas totales -peso y pilares menos la reacción del terreno.

Para poder trazar las gráficas con Maple usamos la delta de Dirac, y su integral, la función de Heaviside para definir las cargas. Vemos un ejemplo para carga puntual unidad en 2 (delta de Dirac en 2)

d := Dirac(x - 2)

$\begin{maplelatex}\begin{displaymath} d := \mathrm{Dirac}(x - 2) \end{displaymath} \end{maplelatex}$

$\mathrm{plot}(d, \,x=0 .. 10)$

$\mapleplot{practica801.eps}$

$h := \int _{ - \infty }^{y}d\,dx$

$\begin{maplelatex}\begin{displaymath} h := \mathrm{Heaviside}(y - 2) \end{displaymath} \end{maplelatex}$

$\mathrm{plot}(h, \,y=0 .. 10)$

$\mapleplot{practica802.eps}$

La integral de la función de Heaviside queda definida en función de ella misma:

$\mathit{ih} := \int _{ - \infty }^{z}h\,dy$

$\begin{maplelatex}\begin{displaymath} \mathit{ih} := \mathrm{Heaviside}(z - 2)\,z - 2\,\mathrm{ Heaviside}(z - 2) \end{displaymath} \end{maplelatex}$

$\mathrm{factor}(\mathit{ih})$

$\begin{maplelatex}\begin{displaymath} \mathrm{Heaviside}(z - 2)\,(z - 2) \end{displaymath} \end{maplelatex}$

$\mathrm{plot}(\mathit{ih}, \,z=0 .. 10)$

$\mapleplot{practica803.eps}$

Definimos, pues, la ley de cargas

La reacción del suelo se define a partir de los valores obtenidos antes, y usando Heaviside: se define en R $[ - \infty , \,\infty ]$ excusivamente el triángulo correspondiente a la reacción de terreno. Para ello se elimina (vía Heaviside) toda la región de coordenadas negativas, y se define la recta de carga entre 0 (la carga vale $\mathit{ri}$ en ese punto) y $3\,\mathit{Pos}$ (donde la carga vale 0), eliminándose asimismo toda reacción a partir de dicho punto, vía Heaviside nuevamente.

$s := \frac {\mathrm{Heaviside}(l + .1\,10^{-15})\,\mathit{ri}\,( 3\,\mathit{Pos} - l)\,\mathrm{Heaviside}(3\,\mathit{Pos} - l)}{3 \,\mathit{Pos}}$

$\mathrm{plot}(\mathrm{subs}(\mathit{cp}, \,s), \,l=0 .. \mathrm{ subs}(\mathit{cp}, \,L))$

$\mapleplot{practica804.eps}$

Las cargas totales son el peso del muro, mas las puntuales, menos la reacción del suelo.

$q := \frac {\mathit{Pm}}{L} + P\,\mathrm{Dirac}(l - .15) + 1.5\, P\,\mathrm{Dirac}(l - .44\,L) - s$

Trazado de la gráfica de cargas (Las cargas Puntuales no aparecen pues son singularidades, pero están en las coordenadas indicadas por las deltas de Dirac)

$\mathrm{plot}(\mathrm{subs}(\mathit{cp}, \,q), \,l=0 .. \mathrm{ subs}(\mathit{cp}, \,L))$

$\mapleplot{practica805.eps}$

Los cortantes se obtienen como suma de todas las cargas a izquierda de cada corte vertical (integrando las cargas). Para trazarlo a mano numéricamente interesan 1: los puntos a izquierda y derecha de cada carga puntual, 2: aproximar las posiciones de cortante nulo (suma de cargas a la izquierda igual a cero) y 3: valor del cortante en el punto de carga nula, pues corresponde al máximo local de cortante.

$t := - \int _{0}^{k}q\,dl$

$\mathrm{plot}(\mathrm{subs}(\mathit{cp}, \,t), \,k=0 .. \mathrm{ subs}(\mathit{cp}, \,L), \, - 800 .. 1000)$

$\mapleplot{practica806.eps}$

Los momentos se obtienen tomando momentos de las cargas totales a izquierda de cada corte, o integrando los cortantes. Para su trazado a mano interesa obtener momentos en las posiciones de las cargas puntuales, en los puntos de cortante nulo (momento máximo local), así como estimar las posiciones de los puntos de momento nulo. Tienen interés los valores de cortante local máximo en el vuelo, así como las partes en que se divide la carga del pilar central

$\mathrm{evalf}([\mathrm{subs}(k=4.179999, \,\mathit{cp}, \,t), \,\mathrm{subs}(k=4.180001, \,\mathit{cp}, \,t), \,\mathrm{subs}( k=8.19, \,\mathit{cp}, \,t)])$

$\begin{maplelatex}\begin{displaymath}[807.1033329, \,-467.8961458, \,54.1692344] \end{displaymath} \end{maplelatex}$

$m := - \int _{0}^{j}t\,dk$

$\mathrm{plot}(\mathrm{subs}(\mathit{cp}, \,m), \,j=0 .. \mathrm{ subs}(\mathit{cp}, \,L), \, - 500 .. 700)$

$\mapleplot{practica807.eps}$

La posición y valor del máximo momento -del cortante nulo- son respectivamente:

$\mathit{pm} := \mathrm{RootOf}(t, \,k, \,.20 .. .4\,L)\,;\, \mathit{mm} := \mathrm{subs}(j=\mathit{pm}, \,m)$

$[\mathrm{evalf}(\mathrm{subs}(\mathit{cp}, \,\mathit{pm})), \, \mathrm{evalf}(\mathrm{subs}(\mathit{cp}, \,\mathit{mm}))]$

$\begin{maplelatex}\begin{displaymath}[1.793136051, \,603.3445805] \end{displaymath} \end{maplelatex}$

Mecanismos de biela-tirante

Trazamos ahora los campos de tensiones internos al muro, como mecanismos de bielas -campos de tensiones de compresión- y tirantes -campos de tracciones que exigen armadura-.

Podemos trazar cualquier mecanismo que garantice el equilibrio de las cargas, y si tanto hormigón como el acero garantizan la resistencia de dicho mecanismo, por el teorema estático, la solución sera al menos segura.

De todos modos tratamos de trazar un mecanismo cercano al modo de trabajo del muro.

Para ello empezamos ignorando los huecos -dado que son relativamente pequeños en relación al resto del muro-, y considerando las gráficas anteriores, con las siguientes consideraciones, que permiten seguir el proceso de trazado de la figura:

$\includegraphics[width=\linewidth]{muro_01.eps}$

1.- El peso del muro y la zapata está en algunas zonas apoyado en el terreno, y en otras, "en el aire". Si consideramos la gráfica de cargas globales, donde la "carga" tiene el sentido de la reacción del terreno, éste soporta la parte del muro que tiene encima, así como cargas adicionales. Donde la carga tiene el sentido del peso del muro y zapata, -en el lateral derecho- éstos se apoyan en el resto del muro en un mecanismo de voladizo. Se requiere ahí, por tanto un tirante para colgar dicho peso de la parte superior del muro (11), y una biela inclinada (12) para llevar el peso al terreno de al lado. La biela requiere de un tirante horizontal (13) y una compresión horizontal (14) para asegurar su equilibrio.

2.- Los puntos de cortante nulo en la gráfica separan tramos de muro sin interacción tangencial entre ellos, de modo que las cargas verticales y reacciones de dichos tramos se deben equilibrar en ellos. Tenemos así tres tramos separados que no pueden ser cruzados por bielas oblicuas, que equilibran con el terreno las cargas del pilar izquierdo, la del derecho, -en el centro del muro- y la del tramo de muro en voladizo. Por tanto las posiciones de las bielas 11 a 14 deben establecerse en base a la posición de la resultante del saldo entre reaccion del terreno y peso del muro destinada a equilibrar el peso del vuelo (21).

3.- La biela izquierda (31) lleva la carga del pilar a la posición de la resultante del saldo entre reacción del terreno y peso del muro. Corresponde a un abanico de compresiones. Requiere de tracción horizontal (32) superior, y compresión horizontal inferior (33).

4.- La carga del pilar "central" se equilibra con reacciones a su izquierda y derecha -saldo entre reacción del terreno y peso del muro- iguales al salto el el diagrama de cortantes, por lo que pueden trazarse las correspondientes bielas comprimidas (41 y 42) y cerrar las horizontales necesarias para el equilibrio completo.

5.- Pueden calcularse los valores de las correspondientes compresiones y tracciones sin más que trazar los polígonos de fuerzas, o cualquier otro método de equilibrio. En las figuras estan trazados los Cremonas en los que el equilibrio de cada nudo es un polígono en el que se trazan sucesivamente las fuerzas de las barras que se encuentran al rotar en torno al nudo en sentido antihorario. (Las barras incluyen las lineas de accion de cargas y reacciones tal como actuan sobre el nudo).

6.- Se considera a continuación la existencia de los huecos, debiendo desglosarse las bielas que cruzan huecos -descomponiéndolas de modo que se mantenga el equilibrio, según la regla del paralelogramo si se usa el calculo gráfico- y "desviándolas" en caso de ser necesario mediante alguno de los mecanimos de la figura -o combinaciones o alteraciones de los mismos-, pero nuevamente manteniendo la equivalencia entre la biela desviada y el mecanismo que la sustituye -la sustituye en la forma, pero no en el efecto, que debe mantenerse-

$\includegraphics[width=6cm]{muro_05.eps}$

$\includegraphics[width=\linewidth]{muro_02.eps}$

7.- Como alternativa al desglose individual de bielas, pueden recomponerse grupos de ellas, pero debe asegurarse el equilibrio, como sería el caso bajo la carga del pilar central, en el que se muestra cómo trazar un quiebro en las bielas de modo que ambos tramos sean capaces de equilibrar la resultante en el nudo que forman la carga vertical y las fuerzas desequilibradas horizontales a derecha e izquierda del nudo.

El resultado es el de la figura, que admite refinamientos adicionales, y sobre los que se determinan los valores de las fuerzas definitivas en bielas y tirantes, gráfica o numéricamente.

$\includegraphics[width=\linewidth]{muro_03.eps}$

$\includegraphics[width=\linewidth]{muro_04.eps}$

Armados

Para armar se consideran las mallas mínimas, y se compara su capacidad de carga con la necesaria para resistir las fuerzas sobre los tirantes, que serán concentradas o distribuidas según la naturaleza de la carga: para el tramo de muro en voladizo, se trata de un tirante de cuelge distribuido, pero para el desvío de la carga del pilar izquierdo es claro que es un tirante bastante concentrado.

En algunas regiones pueden considerarse modelos de vigas, como podrían ser las áreas bajo los huecos, en las que la reacción del terreno, relativamente uniforme en cada una de ellas, puede considerarse, alternativamente al modelo de bielas y tirantes, como una carga aplicada a tramos de vigas doblemente empotradas al muro. Valdrá cualquier modelo que asegure el equilibrio local y global, así como la resistencia de los esfuerzos requeridos por dicho equilibrio. La peor situación concebible sería la equivalente a doblemente apoyada, con hasta un 30% menos de armado si pueden suponerse deformaciones análogas a las del doble empotramiento.

De tal modo que la armadura superior requerida para desviar la carga del pilar izquierdo, que es por ello también la responsable de equilibrar el máximo momento global en la region de cortante nulo, vale, en cm2

$\mathit{ab} := \frac {\mathit{mm}}{2.90\,27.2}\,;\,\mathrm{evalf }(\mathrm{subs}(\mathit{cp}, \,\mathit{ab}))$

$\begin{maplelatex}\begin{displaymath} 7.64889175 \end{displaymath} \end{maplelatex}$

Dicha armadura debe anclarse pasado el pilar central, dado que es bajo éste donde cambia el valor de su tracción. Sin considerar la longitud de anclaje tendremos:

$\mathit{lm} := .44\,L\,;\,\mathrm{subs}(\mathit{cp}, \,\mathit{ lm})$

$\begin{maplelatex}\begin{displaymath} 4.180 \end{displaymath} \end{maplelatex}$

Y la armadura en la peor posición bajo el hueco izquierdo será responsable del equilibrio de momentos de la reacción del terreno menos la carga de la zapata bajo ese hueco, siendo, por tanto $a=\frac {q\,l^{2}}{8\,z\,f}$ . En cm2:

$\mathit{aa} := \frac {(\mathrm{subs}(l=.44\,L - 1.80, \,s) - 51.75)\,.7^{2}}{8\,.65\,27.2}\,;\,\mathrm{evalf}(\mathrm{subs}( \mathit{cp}, \,\mathit{aa}))$

$\begin{maplelatex}\begin{displaymath} 1.370871607 \end{displaymath} \end{maplelatex}$

$\mathit{sol} := [\zeta , \,\mathit{aa}, \,\mathit{ab}, \, \mathit{lm}]$

A propósito de este documento...

This document was generated using the LaTeX2HTML translator Version 98.1p1 release (March 2nd, 1998)

The command line arguments were:
latex2html -split 0 practica8.tex.

The translation was initiated by on 1999-12-02

1999-12-02